Diplomat Ahmet Naci Kenter ile Olga Cynthia çiftinin en küçük çocukları olarak 1932 yılında İstanbul’da dünyaya gelen Müşfik Kenter, eğitim hayatına Ankara’da başladı. Lise eğitimini birinci sınıfta bırakarak 1947 yılında Ankara Devlet Tiyatrosu çocuk bölümüne başlayarak tiyatroya adım attı.
Ankara Devlet Konservatuvarı tiyatro bölümünde eğitimine devam eden ve okulu 1955'te yüksek dereceyle bitirerek Devlet Tiyatrosu'na giren Kenter, sanat yaşamına "Oğuz Ata" oyunuyla merhaba dedi.
Usta tiyatrocu, 1959'da Devlet Tiyatrosu'ndan ayrıldı. İstanbul'a giderek, kardeşi, usta oyuncu Yıldız Kenter ve Muhsin Ertuğrul ile çalıştı. Oyuncu Şükran Güngör ve Kamuran Yüce ile bu dönemde bir araya gelen Kenterler, dörtlü olarak uzun yıllar tiyatro yaptı.
Kenter kardeşler, Muhsin Ertuğrul'un desteğiyle Kent Oyuncuları topluluğunu oluşturdu. Topluluk, Site Tiyatrosu adıyla 1959-1960 sezonunda Muhsin Ertuğrul yönetiminde oyunlar sahnelemeye başladı. İlk olarak ABD'li yazar W. Gibson’un "Salıncakta İki Kişi" adlı oyunu sahneleyen topluluğun çekirdek kadrosunda, Yıldız ve Müşfik Kenter ile Genco Erkal, Şükran Güngör ve Sadri Alışık yer aldı.
Kenter kardeşler ve Şükran Güngör, Kenter Tiyatrosu'nu yapmak için tüm paralarını ortaya koyarak, büyük bir turneyle Anadolu'yu gezdi. Koltuk satma kampanyasıyla destek toplanan tiyatro binası, 1968'de tamamlandı. Müşfik Kenter, ablası Yıldız Kenter ile meslek hayatlarının başlangıcından itibaren eğitim de vererek, bütün birikimini tiyatroya aktarmaya, katkılarını arttırmaya çalıştı ve Türk tiyatrosuna yeni isimler kazandırdı.
Müşfik Kenter, İngiliz Kültür Heyeti ve Rockefeller'den burslar alarak ABD ve İngiltere'de tiyatro araştırmaları yapan ve incelemelerde bulunan Kenter, İngiltere, Amerika, Fransa ve Almanya'nın da içinde bulunduğu birçok ülkede sahne aldı. Kenter, William Shakespeare, Anton Pavloviç Çehov, Maksim Gorki, Bertolt Brecht, Eugene Ionesco, Harold Pinter, Edward Albee, Arthur Miller gibi yazarların oyunlarını sahneledi ve oynadı. Hamlet, Cyrano de Bergerac, Sustalı Mack gibi tiyatro edebiyatının en önemli rollerini sahneye başarıyla taşıdı.
Müşfik Kenter, Murathan Mungan'ın Orhan Veli Kanık'ın şiirlerinden düzenlediği 'Bir Garip Orhan Veli' isimli oyunu 30 yıldan uzun süre sahneleyerek, aynı oyuncuyla Türkiye'de en uzun süre sergilenen eserlerden birine imza attı.
Özgün sesiyle hafızalarda yer edinen Müşfik Kenter, 1980 ve 1990'lı yıllarda yayımlanan televizyon dizisi 'Alf'te unutulmaz uzaylı karakteri 'Alf'i seslendirdi.
Müşfik Kenter, Türk ve yabancı filmler, belgesel ve reklamlarda seslendirme de yapan sanat yaşamı boyunca gerek sahnede, gerek beyazperde de ve gerekse televizyonda pek çok unutulmaz rolü canlandırdı. Kenter, Mimar Sinan Üniversitesi Devlet Konservatuvarı'ndan emekli olduktan sonra, Haliç Üniversitesi Konservatuvarı Tiyatro Bölümü Başkanlığı ve Bakırköy Belediyesi Şehir Tiyatrosu Genel Sanat Yönetmenliği görevlerinde bulundu.
Usta sanatçı Müşfik Kenter, 80 yaşında akciğer kanseri nedeniyle tedavi gördüğü hastanede 15 Ağustos 2012'de hayatını kaybetti. Kenter'in cenazesi, 17 Ağustos 2012'de Kilyos Aile Mezarlığı'nda toprağa verildi.
